中学2年生が解けるこの問題、君は解けるか？グレーの正六角形の面積を求めよ！

緑色の正六角形があります。この正六角形の各辺の中点を結んでグレーの正六角形を作りました。緑色全体の面積を５０とするとき、グレーの正六角形の面積を求める問題です。どのように解いていきましょうか。わかっているのは緑色部分の面積だけなのですが、中学校２年生の後半位になれば解くことができると思われます。



このままの状態で答えを出せる人はなかなかいないのではないでしょうか。



－直線を３本引いてみます

図のように３本の直線を引くと、正六角形の中に６つの正三角形ができます。





－正三角形は合同な３つの二等辺三角形に分けることができます

正三角形に３本の中線を引くと、正三角形を３つの合同な二等辺三角形に分けることができます。緑色全体は６つの合同な二等辺三角形からできています。
黄色の二等辺三角形と緑色の二等辺三角形は合同なので面積が等しいとわかります。



※　中線というのは、三角形の頂点と、向かい側の辺の中点を結ぶ直線のことで、３本の中線は１つの点で交わることが知られています。また、３本の中線で作られた６つの三角形の面積が等しいことも知られています。



－２つの三角形が合同になる理由など

正六角形の内角の和は７２０°であることを利用すると緑色の三角形の頂角が１２０°であることがわかります。このことから、緑色の二等辺三角形の頂角は１２０°、等しい角は３０°ということがわかります。また、黄色の二等辺三角形の頂角も１２０°、等しい角も３０°です。



黄色の二等辺三角形と緑色の二等辺三角形の面積が等しいので、正三角形ひとつの面積は緑色の三角形の面積の３倍になります。グレーの正六角形の面積は、緑色全体の面積の３倍になることもわかります。



－答えです

グレーの正六角形の面積は、１５０です。
５０×３を計算すると１５０になります。



図形の問題は答えを出すまでに色々と試行錯誤することが多いですが、その分、答えが出たときはなんだかすっきりとした気分になり嬉しくなります。そんな気分をたくさん味わってください。

（秒刊サンデー：わらびもち）