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緑色の正六角形があります。この正六角形の各辺の中点を結んでグレーの正六角形を作りました。緑色全体の面積を50とするとき、グレーの正六角形の面積を求める問題です。どのように解いていきましょうか。わかっているのは緑色部分の面積だけなのですが、中学校2年生の後半位になれば解くことができると思われます。

question

このままの状態で答えを出せる人はなかなかいないのではないでしょうか。



-直線を3本引いてみます

図のように3本の直線を引くと、正六角形の中に6つの正三角形ができます。

hint1



-正三角形は合同な3つの二等辺三角形に分けることができます

正三角形に3本の中線を引くと、正三角形を3つの合同な二等辺三角形に分けることができます。緑色全体は6つの合同な二等辺三角形からできています。
黄色の二等辺三角形と緑色の二等辺三角形は合同なので面積が等しいとわかります。

hint2

※ 中線というのは、三角形の頂点と、向かい側の辺の中点を結ぶ直線のことで、3本の中線は1つの点で交わることが知られています。また、3本の中線で作られた6つの三角形の面積が等しいことも知られています。



-2つの三角形が合同になる理由など

正六角形の内角の和は720°であることを利用すると緑色の三角形の頂角が120°であることがわかります。このことから、緑色の二等辺三角形の頂角は120°、等しい角は30°ということがわかります。また、黄色の二等辺三角形の頂角も120°、等しい角も30°です。

hint3

黄色の二等辺三角形と緑色の二等辺三角形の面積が等しいので、正三角形ひとつの面積は緑色の三角形の面積の3倍になります。グレーの正六角形の面積は、緑色全体の面積の3倍になることもわかります。



-答えです

グレーの正六角形の面積は、150です。
50×3を計算すると150になります。

answer

図形の問題は答えを出すまでに色々と試行錯誤することが多いですが、その分、答えが出たときはなんだかすっきりとした気分になり嬉しくなります。そんな気分をたくさん味わってください。

(秒刊サンデー:わらびもち

情報提供元:秒刊SUNDAY
記事名:「中学2年生が解けるこの問題、君は解けるか?グレーの正六角形の面積を求めよ!